Les Fractales en Biologie
Les échanges pulmonaires

        Tous les fractales tels que les ont imaginés les mathématiciens du vingtième siècle ont une caractéristique commune; en effet ils ont tous une itération qui tend vers l'infini. L' itération est un indice noté n=x ou x représente le nombre d'étapes lors de la création d'un dessin fractal.

      Par exemple, voici la courbe de Von Koch (Helge Von Koch 1870-1924) :




La première itération est n=1 c'est a dire un simple segment




Ensuite à n=2 nous avons une discontinuité au milieu


A n=3 cette discontinuité va se reproduire au milieu de tous les segments qui constituent la figure à ce moment





De même à n=4







n=5...







n=6...
etc...

     Ainsi la courbe de Von Koch à n=l'infini obtient un périmètre qui tend vers l'infini.

Prenons maintenant le flocon de Von Koch qui est composé de trois courbes de Von Koch (ci-dessus). Ainsi :
 
n=1          n=2            n=3

    La courbe ci-dessous représente l'augmentation de la surface du flocon en fonction de l'augmentation des itérations :


Aire du flocon de Von Koch en fonction du nombre d'itérations

Détail du calcul de l'aire en fonction des itération (pour n=1 n=2 n=3) :
Pour n=1 , nous avons un simple triangle équilatéral ABC de côté  C=18 cm.

L’aire d’un triangle est donné par la relation A = C x h / 2                 

h est la hauteur du triangle comme elle coupe un cote en son milieu en un angle droit la relation donne H est C²=H²+(C/2)²

donc H²=C²3/4

et donc H=C√(3/4)

du coups A=C x C√(3/4)/2

                A=(C² x √(3/4))/2

AN pour n=1 A=18²*√(0.75)/2=140,3 cm²






Pour n=2 , la différence entre l’aire de n=1 et n=2 c’est l’ajout de petits triangles équilatéraux dont les côtés seront 3 fois inférieurs à ceux du triangle équilatérale ABC, sur chacun des 3 côtés du triangle ABC.

Comme il y a trois côtés dans le triangle ABC il y aura 3 triangles de plus donc l’aire de ces trois triangles est

A’=3(C/3)²*√(3/4)/2

A’=3(36)*√(3/4)/2

A’=46,8cm²

Donc l’aire totale de la figure délimité par le flocon de Von koch à n=2 est la somme de A et de A’ : ce qui fait 140,3+46,8=187,2cm²







Pour n=3 une fois encore l’aire est égale à  la somme de l’air précédente plus l’air des nouveaux triangles qui sont trois fois petit que les triangles précédents, leur dimension sera donc de 2 cm mais qui sont 4 fois plus nombreux.

En effet, si on prend un tiers du triangle, on retrouve une courbe AB de Von Koch.

Il y a 4 figures (de chaque couleurs différentes sur le schéma si dessous) qui forment AB. Comme il y a un triangle sur chaque segment, il y a 4 triangles sur la partie AB et donc 4 x 3 (3 parce que il y a trois courbes dans le flocon) =12 triangles sur le flocon de Von Koch pour n=3.

Donc l’aire des petits triangles est

A=12 (2² x √(0,75)/2)=20.8 donc l’aire totale vaut 187,2+20,8=208,0 cm²


De la même manière on peut trouver n=4 n=5 etc…


        Sur le schéma, on observe que plus les itérations augmentent, plus l'aire du flocon augmente. Cependant, au bout d'un grand nombre d'itérations, on s'aperçoit que la courbe devient presque horizontale c'est a dire que l'aire n'augmente presque plus.


        Les poumons sont basés sur le même schéma : leur objectif est de transmettre le maximum de dioxygène de l'air inspiré vers le sang.

        Pour qu'il y ait un maximum d'échanges de dioxygène des poumons aux capillaires, les poumons  doivent avoir la plus grande surface d'échanges tout en ayant un volume qui reste raisonnable (on ne peut en effet pas faire rentrer dans la cage thoraxique un trop grand volume de poumons...). 

        C'est pourquoi les poumons ont une structure fractale comprenant pas moins de 16 itérations.


Modélisation des poumons : une structure vraiment fractale

        Cette structure fractale permet de modéliser les poumons sur ordinateur. La modélisation par ordinateur est permise par la création d'algorithmes qui viennent des fractales. A partir de la trachée, ils vont dessiner tout le poumon en decoupant sans cesse les ramifacation en deux et en faisant diminuer le rayon à chaque itération.

        La modélisation en 3D sur ordinateur permet aussi d'étudier la structure fractale des poumons de manière indirecte, ce qui permet d'avoir une estimation de cette aire d'echange qui est d'environ... 200m² soit l'équivalent d'un court de tennis ! C'est leur géométrie fractale (comme vu ci-dessus) qui permet une telle surface d'échange.

         On peut également calculer le volume maximum d'air transmis des poumons vers les vaissaux sanguins chez un humain normal en se basant juste sur les longueurs et épaisseurs des différentes ramifications (comme la trachée, les bronchioles...). Ce volume appelé VO2 max est de 4L a 4,5L.


Structure simple du système d'irrigation des poumons
       Sur le schéma ci-dessus, on reconnaît la trachée (au milieu). Cette trachée se divise en deux, formant des bronches, qui elles-même se divisent en bronchioles et enfin en des alvéoles pulmonaires. Cette divison fait penser a un arbre (qui a aussi une structure fractale) dont le tronc se découpe en branches qui sont à chaque itération plus petites.

        Le code génétique est responsable de cette structure fractale, en effet l'ADN (Acide DésoxyriboNucléique) sert à coder presque exclusivement la fabrication de proteines (assemblage dans le cytoplasme d'acides aminés). Ainsi la présence ou non de certaines de ces proteines dans le poumons va servir de signaux pour la forme que doit avoir le poumon.


Conduit d'air
 Effectif
 Diamètre

La Trachée




1




18 mm

Bronches et Bronchioles




35 536





1 à 3 mm

Acini




65 536




0,5 mm

             Cette division par deux à chaque itération a pour conséquence que le nombre de terminaisons double, et après 16 étapes, on obtient donc  216, soit 65 536 bronches et bronchioles qui mènent à 65 536 acini (petites cavités a l'interieur des poumons se terminant donc en cul de sac). Les acini représentent donc la derniere itération des poumons.

         Ces calculs issus des modélisations fractales ont été vérifiés par la radiographie : le nombre d'acini est de 60000 pour un poumon humain normal, et il y a bien 16 itérations dans les poumons.

        A noter également que plus l'itération grandit, plus les ramifications sont petites : 18 mm pour la trachée contre 0,5 mm pour les bronchioles et les acini.


Images :
Courbes et flocons de Von Koch : Helge Von Koch
Courbe de l'aire du flocon de Von Koch en fonction du nombre d'itérations : Geoffrey Bruno & Loïc Devillers
Modélisation des poumons : http://www.mathcurve.com/fractals/poumon/poumon.shtml
La Trachée : http://www.tu-dresden.de/mw/ihp/hft/forschg/linspn/linspn.html